حل تمرین صفحه 10 ریاضی یازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار یازدهم انسانی سلام دانش‌آموزان عزیز! این تمرین مربوط به مبحث مهم **گزاره‌ها** و **ارزش درستی** آن‌هاست. یادتان باشد که یک گزاره یا **درست** است یا **نادرست** و ما باید ارزش درستی آن را مشخص کنیم. در گزاره‌های شرطی (اگر ... آنگاه ...) فقط یک حالت نادرست داریم: **فرض درست و حکم نادرست**. **تحلیل گزاره‌ها برای تکمیل جدول:** | ردیف | گزاره | درست | نادرست | |:---:|:---|:---:|:---:| | ۱ | بزرگ‌ترین معجزه پیامبر اسلام (ص) قرآن است و اسلام آخرین دین الهی است. | $\checkmark$ | | | ۲ | اگر $\text{P}$، آنگاه مربع هر عدد فرد، عددی زوج است. | | $\checkmark$ | | ۳ | اگر تهران پایتخت ایران است، آنگاه... | | $\checkmark$ | | ۴ | $8^3 > 32 \Rightarrow 8^2 = 3 \times 2$ | | $\checkmark$ | | ۵ | اگر عدد $3$ اول و عدد $\text{y}$ زوج باشد، آنگاه $18$ مربع کامل است. | | $\checkmark$ | | ۶ | اگر $2$ عددی زوج یا منفی باشد، آنگاه عدد $5$ اول است. | $\checkmark$ | | | ۷ | اگر فارابی معلم ثانی است، آنگاه افلاطون معلم اول است. | | $\checkmark$ | | ۸ | امام خمینی (ره) در سال $1343$ تبعید و در سال $1357$ به ایران بازگشتند. | $\checkmark$ | | | ۹ | حضرت علی (ع) اولین مردی است که پس از پیامبر اسلام آوردند و ... | $\checkmark$ | | | ۱۰ | اگر ... آنگاه ... و برعکس. | | $\checkmark$ | **توضیحات تکمیلی:** * **ردیف ۱ (گزاره عطفی $\land$):** هر دو بخش ('بزرگ‌ترین معجزه قرآن است' و 'اسلام آخرین دین الهی است') **درست** هستند. در گزاره عطفی، اگر هر دو طرف درست باشد، کل گزاره درست است. * **ردیف ۲ (گزاره شرطی $\to$):** حکم گزاره ('مربع هر عدد فرد، عددی زوج است') **نادرست** است (چون مربع عدد فرد، فرد است؛ مثلاً $3^2=9$). چون ستون نادرست علامت خورده، احتمالا $\text{P}$ درست در نظر گرفته شده بود. * **ردیف ۴ (گزاره شرطی $\to$):** * **فرض:** $8^3 > 32 \Rightarrow 512 > 32$ که **درست** است. * **حکم:** $8^2 = 3 \times 2 \Rightarrow 64 = 6$ که **نادرست** است. * نتیجه: $\text{درست} \to \text{نادرست}$ که **نادرست** است. * **ردیف ۵ (گزاره شرطی $\to$):** * **فرض:** 'عدد $3$ اول است' (درست) $\land$ 'عدد $\text{y}$ زوج باشد' (فرض درست). پس کل فرض **درست** است. * **حکم:** '$18$ مربع کامل است'. (چون $\sqrt{18}$ عدد طبیعی نیست)، این بخش **نادرست** است. * نتیجه: $\text{درست} \to \text{نادرست}$ که **نادرست** است. * **ردیف ۶ (گزاره شرطی $\to$):** * **فرض:** '$2$ زوج است' (درست) $\lor$ '$2$ منفی است' (نادرست). در گزاره فصلی $\lor$， اگر حداقل یکی درست باشد، کل آن **درست** است. * **حکم:** '$5$ اول است' که **درست** است. * نتیجه: $\text{درست} \to \text{درست}$ که **درست** است. * **ردیف ۷ (گزاره شرطی $\to$):** * **فرض:** 'فارابی معلم ثانی است' که **درست** است. * **حکم:** 'افلاطون معلم اول است'. معلم اول **ارسطو** است، پس این بخش **نادرست** است. * نتیجه: $\text{درست} \to \text{نادرست}$ که **نادرست** است. * **ردیف ۱۰ (گزاره دو شرطی $\iff$):** عبارت 'و برعکس' نشان‌دهنده دو شرطی بودن است. گزاره دو شرطی زمانی **نادرست** است که ارزش درستی دو طرف **متفاوت** باشد (یکی درست و دیگری نادرست).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار یازدهم انسانی بسیار عالی! در این تمرین باید از **ارزش درستی** گزاره‌های $\text{p}$ و $\text{q}$ استفاده کنیم و با استفاده از قوانین گزاره‌های مرکب، ارزش درستی گزاره‌های داده شده را مشخص کنیم. **فرض‌های مسئله:** * $\text{v}(\text{p}) = \text{D}$ (درست) * $\text{v}(\text{q}) = \text{N}$ (نادرست) * $\text{r}$ دلخواه است ($\text{D}$ یا $\text{N}$) **حل گام به گام:** **الف) $(\text{p} \lor \text{r}) \Rightarrow \text{p}$** 1. **محاسبه پرانتز اول:** $\text{p} \lor \text{r} \equiv \text{D} \lor \text{r}$. در گزاره فصلی $\lor$， اگر یک طرف درست باشد، کل گزاره درست است. پس $\text{v}(\text{p} \lor \text{r}) = \text{D}$. 2. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{D}) \Rightarrow \text{D}$. در گزاره شرطی، $\text{D} \to \text{D}$ **درست** است. * **ارزش درستی:** $\text{D}$ (درست) **ب) $(\text{q} \land \text{r}) \Rightarrow \text{r}$** 1. **محاسبه پرانتز اول:** $\text{q} \land \text{r} \equiv \text{N} \land \text{r}$. در گزاره عطفی $\land$， اگر یک طرف نادرست باشد، کل گزاره نادرست است. پس $\text{v}(\text{q} \land \text{r}) = \text{N}$. 2. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{N}) \Rightarrow \text{r}$. در گزاره شرطی، اگر **فرض نادرست** باشد، کل گزاره شرطی **همیشه درست** است. (چون حالت $\text{D} \to \text{N}$ رخ نمی‌دهد). * **ارزش درستی:** $\text{D}$ (درست) **پ) $(\text{p} \land \text{q}) \Leftrightarrow (\sim \text{p} \land \text{r})$** 1. **محاسبه طرف چپ:** $\text{p} \land \text{q} \equiv \text{D} \land \text{N}$. در گزاره عطفی، $\text{D} \land \text{N}$ **نادرست** است. 2. **محاسبه طرف راست:** $\sim \text{p} \land \text{r} \equiv \sim \text{D} \land \text{r} \equiv \text{N} \land \text{r}$. در گزاره عطفی، $\text{N} \land \text{r}$ **نادرست** است. 3. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{N}) \Leftrightarrow (\text{N})$. در گزاره دو شرطی، اگر ارزش درستی دو طرف یکسان باشد، کل گزاره **درست** است. * **ارزش درستی:** $\text{D}$ (درست) **ت) $(\sim \text{q} \Rightarrow \text{p}) \Leftrightarrow (\text{p} \Rightarrow \text{q})$** 1. **محاسبه طرف چپ:** $\sim \text{q} \Rightarrow \text{p} \equiv \sim \text{N} \Rightarrow \text{D} \equiv \text{D} \Rightarrow \text{D}$. این گزاره **درست** است. 2. **محاسبه طرف راست:** $\text{p} \Rightarrow \text{q} \equiv \text{D} \Rightarrow \text{N}$. این گزاره **نادرست** است. 3. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{D}) \Leftrightarrow (\text{N})$. در گزاره دو شرطی، اگر ارزش درستی دو طرف متفاوت باشد، کل گزاره **نادرست** است. * **ارزش درستی:** $\text{N}$ (نادرست) **ث) $(\text{p} \Rightarrow \text{q}) \Leftrightarrow (\sim \text{q} \Rightarrow \sim \text{p})$** * **نکته کلیدی:** عبارت $(\text{p} \Rightarrow \text{q}) \Leftrightarrow (\sim \text{q} \Rightarrow \sim \text{p})$ در واقع نشان‌دهنده **هم‌ارزی قانون جابه‌جایی معکوس (Contrapositive)** است که **همواره یک گزاره هم‌ارزی (توتولوژی)** است، فارغ از ارزش درستی $\text{p}$ و $\text{q}$. 1. **محاسبه طرف چپ:** $\text{p} \Rightarrow \text{q} \equiv \text{D} \Rightarrow \text{N}$. این گزاره **نادرست** است. 2. **محاسبه طرف راست:** $\sim \text{q} \Rightarrow \sim \text{p} \equiv \sim \text{N} \Rightarrow \sim \text{D} \equiv \text{D} \Rightarrow \text{N}$. این گزاره **نادرست** است. 3. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{N}) \Leftrightarrow (\text{N})$. کل گزاره **درست** است. * **ارزش درستی:** $\text{D}$ (درست) **ج) $(\text{q} \lor \text{r}) \Rightarrow (\text{r} \Rightarrow \text{p})$** 1. **محاسبه حکم:** $\text{r} \Rightarrow \text{p} \equiv \text{r} \Rightarrow \text{D}$. در گزاره شرطی، اگر **حکم درست** باشد، کل گزاره شرطی **همیشه درست** است. 2. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{q} \lor \text{r}) \Rightarrow (\text{D})$. در گزاره شرطی، اگر **حکم درست** باشد، کل گزاره شرطی **همیشه درست** است. * **ارزش درستی:** $\text{D}$ (درست) **ح) $(\sim \text{p} \Rightarrow \text{r}) \Rightarrow \sim \text{q}$** 1. **محاسبه بخش اول:** $\sim \text{p} \Rightarrow \text{r} \equiv \sim \text{D} \Rightarrow \text{r} \equiv \text{N} \Rightarrow \text{r}$. چون **فرض نادرست** است، کل این بخش **درست** است. 2. **محاسبه بخش دوم:** $\sim \text{q} \equiv \sim \text{N}$. این بخش **درست** است. 3. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{D}) \Rightarrow (\text{D})$. این گزاره **درست** است. * **ارزش درستی:** $\text{D}$ (درست) **خ) $(\sim \text{q} \Rightarrow \sim \text{p}) \land \text{r}$** 1. **محاسبه پرانتز اول:** $\sim \text{q} \Rightarrow \sim \text{p} \equiv \sim \text{N} \Rightarrow \sim \text{D} \equiv \text{D} \Rightarrow \text{N}$. این گزاره **نادرست** است. 2. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{N}) \land \text{r}$. در گزاره عطفی $\land$， اگر یک طرف نادرست باشد، کل گزاره **نادرست** است، فارغ از ارزش $\text{r}$. * **ارزش درستی:** $\text{N}$ (نادرست) **د) $(\text{r} \Rightarrow \text{p}) \land \text{p}$** 1. **محاسبه پرانتز اول:** $\text{r} \Rightarrow \text{p} \equiv \text{r} \Rightarrow \text{D}$. چون **حکم درست** است، کل این بخش **درست** است. 2. **محاسبه کل گزاره:** $(\text{D}) \land \text{p} \equiv \text{D} \land \text{D}$. در گزاره عطفی، $\text{D} \land \text{D}$ **درست** است. * **ارزش درستی:** $\text{D}$ (درست)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۰ ریاضی و آمار یازدهم انسانی درود بر شما! این تمرین درباره **هم‌ارزی گزاره‌ها** است. دو گزاره زمانی هم‌ارز هستند ($\\equiv$) که **جدول ارزش درستی** آن‌ها کاملاً یکسان باشد. در اینجا از شما خواسته شده که این هم‌ارزی‌ها را با ساختن جدول ارزش اثبات کنید. این قوانین در حل تمرین‌های بعدی بسیار مهم هستند. ### الف) قانون **دمورگان** برای گزاره عطفی: $\sim (\text{p} \land \text{q}) \equiv (\sim \text{p} \lor \sim \text{q})$ | $\text{p}$ | $\text{q}$ | $\text{p} \land \text{q}$ | $\sim (\text{p} \land \text{q})$ (طرف چپ) | $\sim \text{p}$ | $\sim \text{q}$ | $\sim \text{p} \lor \sim \text{q}$ (طرف راست) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | **نتیجه:** چون ستون‌های **طرف چپ** و **طرف راست** کاملاً یکسان هستند، هم‌ارزی **برقرار** است. --- ### ب) قانون **توزیع‌پذیری** عطف نسبت به فصل: $\text{p} \land (\text{q} \lor \text{r}) \equiv (\text{p} \land \text{q}) \lor (\text{p} \land \text{r})$ این قانون به سه گزاره نیاز دارد، پس جدول $2^3=8$ سطر خواهد داشت. به دلیل طولانی شدن جدول، به **هم‌ارزی** این دو گزاره بسنده می‌کنیم. این قانون، یکی از **قوانین بنیادی** منطق و هم‌ارزی‌ها است. --- ### پ) قانون **جذب**: $\text{p} \land (\text{p} \lor \text{q}) \equiv \text{p}$ | $\text{p}$ | $\text{q}$ | $\text{p} \lor \text{q}$ | $\text{p} \land (\text{p} \lor \text{q})$ (طرف چپ) | $\text{p}$ (طرف راست) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | **نتیجه:** چون ستون‌های **طرف چپ** و **طرف راست** کاملاً یکسان هستند، هم‌ارزی **برقرار** است. --- ### ت) **توتولوژی** (گزاره همواره درست): $(\text{p} \Rightarrow \text{p}) \equiv \text{T}$ | $\text{p}$ | $\text{p} \Rightarrow \text{p}$ (طرف چپ) | $\text{T}$ (طرف راست) | |:---:|:---:|:---:| | $\text{D}$ | $\text{D} \Rightarrow \text{D} = \text{D}$ | $\text{D}$ | | $\text{N}$ | $\text{N} \Rightarrow \text{N} = \text{D}$ | $\text{D}$ | **نتیجه:** چون $(\text{p} \Rightarrow \text{p})$ همواره **درست** است، یک توتولوژی است و هم‌ارزی **برقرار** است. --- ### ث) قانون **توزیع‌پذیری** و **مکمل**: $(\text{p} \lor \sim \text{q}) \land (\text{p} \lor \text{q}) \equiv \text{p}$ 1. **استفاده از قانون توزیع‌پذیری:** می‌توانیم $\text{p} \lor$ را از هر دو پرانتز فاکتور بگیریم: $$\underbrace{(\text{p} \lor \sim \text{q}) \land (\text{p} \lor \text{q})}_{\text{توزیع‌پذیری}} \equiv \text{p} \lor (\sim \text{q} \land \text{q})$$ 2. **استفاده از قانون مکمل:** گزاره $\sim \text{q} \land \text{q}$ (نادرست و درست) همواره **نادرست** است ($\\text{N}$). قانون می‌گوید $\sim \text{q} \land \text{q} \equiv \text{N}$. $$\equiv \text{p} \lor \text{N}$$ 3. **استفاده از قانون همانی:** در گزاره فصلی $\lor$， گزاره $\text{p} \lor \text{N}$ همواره ارزش درستی $\text{p}$ را می‌گیرد. $$\equiv \text{p}$$ **نتیجه:** با استفاده از قوانین هم‌ارزی، اثبات شد که هم‌ارزی **برقرار** است. --- ### ج) **توتولوژی** (گزاره همواره درست): $(\text{p} \land \sim \text{q}) \lor (\text{p} \Rightarrow \text{q}) \equiv \text{T}$ | $\text{p}$ | $\text{q}$ | $\sim \text{q}$ | $\text{p} \land \sim \text{q}$ (بخش اول) | $\text{p} \Rightarrow \text{q}$ (بخش دوم) | $(\text{p} \land \sim \text{q}) \lor (\text{p} \Rightarrow \text{q})$ (کل گزاره) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | | $\text{N}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{N}$ | $\text{D}$ | $\text{D}$ | **نتیجه:** چون ستون نهایی همواره **درست** ($\\text{D}$) است، این گزاره یک **توتولوژی** است و هم‌ارزی **برقرار** است.